Свою профессиональную карьеру Греко начал в 2010 году в "Ватерлоо Блэк Хоукс" из USHL (главная юниорская хоккейная лига США), но достаточно быстро перебрался в "Де-Мойн Бьюкканерс". Затем форвард провел четыре сезона в студенческой лиге (NCAA), выступая за университет Огайо, а в конце сезона 2015/2016 дебютировал в АХЛ в составе "Бриджпорт Саунд Тайгерс". В дальнейшем Энтони выступал за "Спрингфилд Тандербердс", "Сиракьюз Кранч", "Сан-Хосе Барракуда" и "Хартфорд Вулф Пэк", а также засветился в НХЛ, проведя по матчу за "Флориду Пантерз" и "Нью-Йорк Рейнджерс". В общей сложности в АХЛ нападающий провел 361 игру и набрал 235 (109+126) очков.

В 2022 году Греко отправился в Швецию, где защищал цвета "Фрелунды" и "Линчепинга" — в минувшем сезоне он сыграл 37 матчей в рамках местного чемпионата и заработал 15 (6+9) баллов за результативность при показателе полезности "+4".