Егор Рыков — воспитанник хоккейной школы "Русь" (Москва). В 17 лет получил вызов в национальную команду на юниорский чемпионат мира, затем участвовал в мировом первенстве в качестве капитана сборной до 18 лет. В 2016 году на молодежном чемпионате мира стал серебряным призером, а в 2017 завоевал бронзу, был ассистентом капитана. В пятом раунде драфта НХЛ 2016 года выбран под общим 132-м номером командой "Нью-Джерси Дэвилз".

Дебютировал в системе СКА сезоне 2013/14 в молодежной команде "СКА-1946", прошел все ступени клубной системы подготовки, сыграв в сезоне 2015/16 в "СКА-Неве" в ВХЛ, а затем и в основной команде. В 2015 году стал серебряным призером чемпионата МХЛ. В составе СКА в сезоне 2016/2017 стал чемпионом России и обладателем Кубка Гагарина. По итогам сезона 2017/18 стал обладателем Кубка Континента и бронзовым призером чемпионата России. Так же в активе Рыкова 8 игр в сезоне 2023/24 за команду ВХЛ "Омские Крылья", где заработал 2 ассистентских балла.

Следующими клубами КХЛ, где сыграл Егор стали "Сочи", ЦСКА, "Северсталь", "Адмирал", "Авангард" и "Витязь". Всего в КХЛ Егор провел 350 матчей, где набрал 65 (9+59) очков при показателе полезности "+4".

У Егора имеется опыт игры за океаном. Сезон 2019/20 провел в AХЛ в "Хартфорд Вулф Пэк" (фарм-клуб "Нью-Джерси Дэвилз"). В 27 играх набрал 11 (2+9) очков.