Спортсмен родился в Самаре, начинал постигать азы в родном городе, но львиную долю юношества — девять лет — провел в стенах "Акрон-Академии Коноплева". Затем в 17 лет полузащитник отправился в академию московского "Динамо", где и дебютировал в профессиональном футболе в премьер-лиге в заключительном туре сезона 2014/15. В системе бело-голубых Максим находился шесть лет, в сезоне 2016/17 помогал москвичам вернуться в элиту, за главную команду сыграл 33 матча — семь из них в РПЛ (два гола + три передачи).

В сезонах 2017/18 и 2018/19 хавбек был арендован воронежским "Факелом" (43 матча: 2+7), а уже летом 2019 года Кузьмин перебрался в Калининград. За пять сезонов в "Балтике", с которой он выходил в премьер-лигу и добирался до Суперфинала FONBET Кубка России, Максим принял участие в 155 матчах, оформив восемь забитых мячей и 29 голевых передач.

Всего футболист, которые вызывался в юношеские сборные страны, сыграл больше трехсот матчей за карьеру, 33 из которых пришлись на РПЛ, а 183 — на Лучшую Лигу Мира.